École CIMPA Douala 2024

Algèbre, géométrie algébrique et applications à la théorie de l'information

Cours

Corps finis modaux theta valents: arithmétique et applications

(Emmanuel Fouotsa et Jean Armand Tsimi)

Dans ce cours, nous motivons la logique modale multivalente suivi de la construction des ensembles modaux theta valents. Nous considérons des exemples de structures modales theta valentes telles que les groupes et en particulier la notion de congruence modale theta valente sur les anneaux résiduels. De nombreux concepts et résultats de l'arithmétique dans l'anneau residuel Zn sont étudiés sous l'angle modale théta valent. Ceci permettra de construire les corps finis modaux theta valents. Nous considérerons des exemples et la construction des extensions finis. Cette construction nous permettra de considérer des applications en théorie des codes correcteurs et même sur les courbes elliptiques définis sur les corps finis.

Cryptographie basée sur les codes correcteurs

(Hervé Tale Kalachi et Hermann Tchatchien)

Ce cours est une introduction à la cryptographie basée sur les codes correcteurs d'erreurs. Nous rassemblerons des outils et des notions de la cryptographie, de la théorie des codes et nous poursuivrons avec la cryptographie basée sur les codes. Un état de l'art du domaine sera présenté. Plus précisément, il s'agira de la présentation du schéma de chiffrement de McEliece qui est l'un des finalistes du quatrième round du processus NIST pour la standardisation de cryptosystèmes post-quantiques. Ensuite, nous parlerons de quelques-unes de ses variantes. De nouvelles attaques structurelles sur certaines variantes seront présentées et, nous finirons par une présentation de quelques orientations/pistes de recherche dans le domaine.

Corps de fonctions algébriques en une variable (et applications aux codes correcteurs)

(Stéphane Ballet)

Dans ce cours, nous nous proposons d'introduire les notions fondamentales (place, valuation discrète, anneau de valuation, corps de classe résiduel, diviseurs/diviseurs principaux, espaces de Riemann-Roch, groupe des classes, etc.) de la théorie des corps de fonctions algébriques en une variable avec comme objectif de présenter le théorème de Riemann-Roch. En particulier, nous illustrerons ces notions sur des courbes classiques définies sur des corps finis (courbes elliptiques, hyperelliptiques de genre 2, etc.). Nous donnerons une application de ces notions à la théorie des codes correcteurs algébriques au travers de la présentation des codes géométriques-algébriques de Goppa.

Théorie algébrique des nombres et applications à la cryptographie

(Andreas Enge)

Ce cours donne une introduction à la théorie algébrique des nombres nécessaire pour développer des applications à la cryptographie. On étudiera de très proche les problèmes de primalité et de la factorisation des entiers. Chaque séance se terminera par la résolution des exercices par les étudiant.e.s. On suivra plus au moins le livre: A Course in Number Theory and Cryptography by N. Koblitz, Springer, 1994.

Courbes elliptiques, isogénies et applications à la cryptographie

(Jeroen Sijsling et Wouter Castryck)

Réputé comme difficile (même en présence d'ordinateurs quantiques), le problème du calcul explicite d'isogénie entre deux courbes elliptiques isogènes définies sur un corps fini continue à susciter une attention croissante de la part des cryptographes, catalysée par les efforts continus du NIST pour élaborer des normes pour la cryptographie post-quantique. Dans la première partie du cours, on présentera les courbes elliptiques. Après avoir introduit leur définition ainsi que leurs propriétés élémentaires, on étudiera les homomorphismes (aussi appelés isogénies) entre courbes elliptiques, et décrirons les anneaux d'endomorphismes des courbes elliptiques. La deuxième partie du cours est constituée de trois parties entrelacées, chacune mettant en évidence une famille différente de cryptosystème basé sur les isogénies : les graphes de Ramanujan; les actions de groupe; les quaternions.

Logarithme discret sur les corps finis et courbes algébriques: impact sur les protocoles cryptographiques

(Roger Oyono et Haetham Al Aswad)

Le problème du logarithme discret est une brique de base indispensable en cryptographie asymétrique. La sécurité de la mise en accord de clés de Diffie-Hellman repose sur la difficulté de résolution du logarithme discret dans des groupes biens choisis. Le chiffrement ElGamal aussi. Ce cours présentera quelques utilisations cryptographiques du problème du logarithme discret, et les algorithmes spécifiques de calcul. Dans un premier temps, on introduira les algorithmes génériques permettant de résoudre le logarithme discret sur des groupes finis quelconques. Ensuite, on se focalisera sur le logarithme discret sur les corps finis, où il existe des algorithmes sous-exponentiels, plus efficaces que les algorithmes génériques, exploitant les particularités des corps finis. Nous parlerons notamment du calcul d'indice dans Fp , du crible quadratique de Coppersmith, Odlysko, Schroeppel, du crible de corps de nombres (Number Field Sieve en anglais), qui détient à ce jour le record académique de logarithme discret dans un corps premier de 240 chiffres décimaux (795 bits, en 2019). Pour finir, nous parlerons du calcul d'indice pour la résolution du le logarithme discret dans les jacobiennes de courbes algébriques définies sur des corps finis.

Cryptographie à base de réseaux

(Alice Pellet-Mary)

Ce cours portera sur la cryptographie fondée sur les réseaux euclidiens, l'une des principales branches de la cryptographie post-quantique. Dans un premier temps, nous étudierons quelques propriétés des réseaux euclidiens, ainsi que quelques problèmes algorithmiques en lien avec les réseaux. Nous verrons entre autre le problème du plus court vecteur, qui est supposé difficile à résoudre, même pour un ordinateur quantique. Dans un second temps, nous étudierons différentes primitives cryptographiques qui peuvent être construites en utilisant la difficulté supposée des problèmes algorithmiques vu précédemment. Enfin, la dernière partie de l'exposé sera consacrée aux réseaux algébriques, qui peuvent être utilisés pour améliorer l'efficacité des protocoles cryptographiques, mais soulèvent aussi de nouvelles questions pour estimer leur sécurité.